Bulletin Officiel
de l'Education Nationale 

Spécial N°7 du 26 août





MATHEMATIQUES
(cycles 2 et 3)


CYCLE DES APPRENTISSAGES FONDAMENTAUX (cycle 2)


Objectifs et recommandations

Les objectifs du cycle 2 sont :
- le principe de la numération décimale,
- la maîtrise de l'addition,
- la découverte de la soustraction et de la multiplication,
- la reconnaissance des figures et des volumes géométriques simples,
- la mesure des longueurs et du temps,
- la manipulation de la monnaie.

En ce qui concerne la numération décimale, un travail sur les premiers nombres a été mené en maternelle et certaines compétences sont déjà acquises à l'entrée au CP par beaucoup d'enfants. L'objectif premier du CP est la compréhension du principe de construction des nombres à partir des chiffres : le maître prend en compte les acquis des élèves pour limiter au juste nécessaire le travail sur les nombres inférieurs à 10, afin de passer au plus vite à ces nouveaux apprentissages.

Dans toute la mesure du possible, le maître s'attache à articuler entre eux les différents acquis afin de leur apporter du sens par des éclairages mutuels. Par exemple, les activités de mesure sur différentes grandeurs ou sur le coût dans divers contextes apportent du sens aux nombres et aux opérations.
Les mathématiques ont aussi un rôle important à jouer dans l'apprentissage du raisonnement et du maniement de la langue : repérage de l'implicite, mots du langage courant utilisés dans un sens spécifique aux mathématiques...

Dans le cadre des activités mathématiques journalières, le maître :
- alterne, au cours de chaque séquence, des moments d'apprentissage et de recherche, des moments de répétitions d'exercice déjà vus et, lorsque c'est utile, un moment de synthèse (chaque entraînement technique doit être de durée limitée) ;
- fait pratiquer quotidiennement le calcul mental.


Compétences exigibles en fin de cycle 2
Compter jusqu'à 1000 , c'est-à-dire :
- énoncer la liste ordonnée des nombres ;
- lire tout nombre ;
- écrire tout nombre;
- citer le nombre qui précède et qui suit un nombre ;
- décomposer un nombre en ses dizaines et ses unités (94 = 9 dizaines + 4 unités) ;
- comparer deux nombres.
Additionner deux nombres à deux chiffres (addition avec retenue).
Tracer avec précision un trait à la règle entre deux points.
Tracer un segment de longueur donnée en cm. Mesurer un segment, en cm.



Nombres et calcul


Les nombres

Dénombrement des éléments d'une collection, écriture dans le système décimal.
Connaissance des nombres entiers jusqu'à 1 000, de leurs écritures (chiffres ou lettres) et de leur désignation :
- numération décimale ; décomposition d'un nombre en centaines, dizaines et unités ;
- comparaison et rangement (puis première utilisation des signes =, < et >) ; nombre suivant, nombre précédent.
Les élèves commencent par aborder les nombres en réponse à une question liée à un contexte : combien d'arbres dans la cour ? combien d'élèves dans la classe ? Ce sont les manipulations de "nombre de" qui permettront de dégager progressivement le concept de nombre.
Le maître veille à ne pas associer systématiquement l'apprentissage de l'écriture décimale des nombres et l'apprentissage de leur désignation. En effet, certains noms de nombres ne font pas entendre les chiffres dont ils sont formés (onze... quinze, seize, quatre-vingts...) : cela constitue une réelle difficulté pour certains élèves. D'ailleurs, rien n'impose d'apprendre le nom des nombres dans l'ordre croissant, puisque certains noms sont très parlants et d'autres assez mystérieux. On pourra donc proposer d'écrire et d'utiliser les nombres dès que le principe de la numération décimale sera compris, sans nécessairement au début les nommer.

Calculs et problèmes

Problèmes ou situations simples permettant de faire émerger l'addition, la soustraction, la multiplication.
L'addition, avec retenue. Table d'addition : utilisation, mémorisation.
La soustraction, sans retenue.
La multiplication par un nombre à un chiffre. Les tables de multiplication par 2, 5 et 10.
Problèmes simples liés aux opérations précédentes.
Calcul mental :
- additionner un nombre à un chiffre à un autre nombre, la somme restant inférieure à 100. Pour les nombres supérieurs à 100, on se limitera à ajouter 1, 2 ou 3 ;
- soustraire un nombre à un chiffre à un autre nombre, sans retenue.
L'apprentissage des tables de multiplication est progressif sur les deux cycles. Seules les tables de 2, de 5 et de 10 sont mémorisées en fin de cycle 2, mais l'élève dispose des autres tables pour effectuer une multiplication.

Les problèmes
: les nombres et les opérations sont utilisés pour résoudre de petits problèmes. La recherche de solutions doit en priorité permettre à l'élève de comprendre le sens des opérations.
Ainsi, on acceptera qu'un même problème soit résolu par une addition à trou ou par une soustraction, ou encore par une addition répétée ou une multiplication. C'est l'efficacité des opérations nouvelles qui doit donner envie d'apprendre leur technique : cela conduit ensuite à des séquences d'entraînement brèves mais fréquentes.

Dès le cycle 2, il est souhaitable que l'élève rencontre des problèmes comportant plusieurs démarches possibles ou des problèmes non numériques faisant intervenir de la logique élémentaire.

Les énoncés de problèmes : on prendra garde à ce que les difficultés de lecture de certains élèves ne viennent pas à gêner les progrès dont ils sont capables en mathématiques : si nécessaire, on n'hésitera pas à lire les énoncés de problèmes pour en faciliter la compréhension. En tout état de cause, la lecture des énoncés présente des difficultés particulières qui doivent être explicitement travaillées en classe.
Par ailleurs, certains problèmes comportent trop souvent des informations implicites qu'un jeune élève ne peut deviner. Il est souhaitable d'éviter ce genre de textes qui peuvent être perçus comme des pièges. Si toutefois un énoncé trop implicite est proposé aux élèves, le maître veillera d'abord à ne pas rejeter toute réponse logique, même si ce n'est pas la réponse prévue. Ce pourra être l'occasion de faire formuler aux élèves un énoncé plus complet. L'élève apprend ainsi à être moins passif devant un texte écrit. Cela permet également aux mathématiques de ne pas apparaître comme un monde "à part", coupé de la réalité et du bon sens.

Initiation à la géométrie


Formes géométriques

Classements de solides divers. Désignation de solides usuels (cubes, sphères, cylindres) et de quelques figures planes (carrés, rectangles, cercles).
Reconnaissance de solides usuels à partir de leur représentation (photo ou illustration opaque, les arêtes cachées n'étant pas dessinées).
Le maître travaille d'abord sur des collections d'objets variés (y compris des objets naturels ou techniques) pour lesquels il propose aux élèves d'imaginer un classement. Différents critères peuvent être choisis par les élèves : la couleur, la taille, la matière utilisée...

Les activités de classement doivent amener les élèves à faire abstraction de ces divers aspects pour être capables d'identifier la forme géométrique. Dire qu'un gros cube en bois a la même forme qu'un petit cube bleu en plastique est une abstraction difficile pour certains enfants.

Les formes des faces pourront être observées à partir d'empreintes. Le maître fera remarquer que certains solides laissent toujours la même empreinte, quelle que soit la face posée.
Les élèves sont amenés à construire des solides( en pâte à modeler, jeux de construction géométrique...), à les assembler pour construire des formes plus complexes, à les couper pour observer les sections. Il ne faut pas hésiter à leur faire trouver des ressemblances dans la nature (un tronc d'arbre, c'est presque un cylindre...).
Les élèves doivent savoir choisir un solide au milieu d'une collection, à partir de sa représentation plane sous forme de solide opaque. Mais il ne leur est pas demandé de savoir dessiner de telles représentations.

Repérage

Positions relatives d'objets par rapport à soi, d'ob-jets entre eux, et vocabulaire lié aux déplacements.
Lecture de plans.
L'initiation géométrique au cycle 2 permet aussi à l'élève d'affiner la perception de ses relations à l'espace, cela en relation avec l'EPS.

Les activités sur les positions relatives doivent conduire progressivement l'élève à :

- situer un élément (objet ou personne) par rapport à soi-même (à "ma gauche", à "ma droite") ;
- modifier sa réponse s'il tourne sur lui-même d'un demi-tour, d'un quart de tour ;
- situer un élément par rapport à un autre (à "sa droite", à "sa gauche").
La description de la position relative de plusieurs éléments pourra faire l'objet de dessins
On pourra aussi commencer à utiliser les nouvelles technologies pour observer un solide sous ses différents aspects, l'animation permettant de mieux comprendre les positions relatives.
Tracés
Utilisation de la règle, de la règle graduée et du papier quadrillé.
Première découverte du compas.
Les tracés sur papier sont destinés à apprendre la coordination des gestes et la maîtrise des instruments. L'élève commence à manipuler le compas et en découvre l'utilité.

Mesure

Mesures de longueur. Unités usuelles : m et cm.
Mesures de durée. Lecture de l'heure : heures et minutes.
Repérage du temps : calendriers, montres.
Utilisation de la monnaie : francs, centimes et euros.

On fera tracer des segments de longueur déterminée (en nombre entier de centimètres).

Il existe divers instruments pour mesurer les longueurs (mètre déroulant, mètre pliant, mètre de couturière, double décimètre...). Le maître fait mesurer une même longueur avec des instruments différents. Il montre l'adaptation de chacun d'eux à certains usages (mesure de matériaux souples ou rigides, mesure de longueur sur des formes courbes). De même, il aide les élèves à choisir l'unité de référence la mieux adaptée à la grandeur qu'ils mesurent.

Chaque fois que possible, la lecture directe numérique de l'heure est associée à une lecture sur un cadran à aiguilles (horloge ou pendule de la classe ou de l'école).


Dès que l'euro sera mis en circulation, les élèves du cycle 2 seront directement familiarisés avec les ordres de grandeur des prix en euros (prix d'un livre, d'un tour de manège...) : le maître ne fera pas d'exercice sur les conversions des francs en euros ou inversement.




CYCLE DES APPROFONDISSEMENTS (cycle3)


Objectifs et recommandations

Les objectifs du cycle 3 sont :
- l'acquisition des nombres décimaux,
- la maîtrise des trois opérations (addition, soustraction et multiplication) et la découverte de la division euclidienne,
- la reconnaissance d'une situation de proportionnalité,
- la caractérisation géométrique de figures et de volumes,
- la mesure des grandeurs (longueur, temps, masse, surface et capacité),
- la manipulation de monnaies.
L'existence des calculettes oblige à reconsidérer globalement l'apprentissage de la division. Le maître insiste sur le sens de la division et le calcul des ordres de grandeurs (en particulier pour le contrôle et l'interprétation des résultats fournis par la calculette).

La reconnaissance d'une situation de proportionnalité, son sens et sa résolution par la méthode la mieux adaptée (passage par la valeur unitaire ou opération directe, utilisation de la règle de trois) constituent un objectif important du cycle 3. Cet objectif ne doit pas être détourné par des activités indirectes sans intérêt (remplissage de tableaux) ou trop formelles à l'école (coefficient de proportionnalité).


Comme au cycle 2, le maître s'attache à :

- articuler entre eux les différents apprentissages pour les éclairer mutuellement : relier le travail sur les mesures des grandeurs ou sur les monnaies avec les nombres décimaux, associer les problèmes relatifs à la surface du rectangle avec la multiplication et la division ; mettre en relation les décimaux, les fractions et les pourcentages, etc.
- poursuivre l'apprentissage du raisonnement et de son expression (orale comme écrite).

Dans le cadre des activités mathématiques journalières, le maître continue, au cours de chaque séquence :
- à alterner des moments d'entraînement technique, variés et de durée limitée, des moments de recherche et, chaque fois que cela s'impose, un moment de synthèse ;
- à faire pratiquer le calcul mental.
En parallèle avec la maîtrise progressive des différents instruments de calcul, de tracé ou de mesure, le maître attache une attention particulière à leur usage pertinent (choix du bon instrument, bonne utilisation de l'instrument, qualité du résultat...).


Compétences exigibles en fin de cycle 3
Connaître la suite des nombres entiers et décomposer un nombre entier en milliers, centaines, dizaines et unités.
Lire, écrire et décomposer un nombre décimal.
Maîtriser les techniques de l'addition, de la soustraction et de la multiplication (dans les limites du programme).
Connaître les tables de multiplication.
Effectuer mentalement une somme de deux nombres à deux chiffres (une retenue au maximum), une division exacte issue des tables de multiplication, une soustraction d'un nombre à un chiffre.
Estimer mentalement un ordre de grandeur.
Savoir utiliser une calculette et :
- contrôler la pertinence du résultat donné par la machine ;
- éventuellement, choisir le nombre de décimales significatives dans le contexte.
Savoir utiliser les quatre opérations dans les problèmes.
Résoudre un problème exigeant une (et une seule) opération intermédiaire en la justifiant.
Identifier une situation de proportionnalité ou de non-proportionnalité. Résoudre un problème relatif à une situation de proportionnalité.
Reconnaître et nommer un solide simple, réel ou représenté.
Caractériser des éléments géométriques sur un solide ou une figure (dans les limites du programme).
Tracer des droites parallèles, des droites perpendiculaires. Tracer ou construire, au moyen d'instruments adaptés, un carré, un rectangle, un cercle, un triangle.
Mesurer une longueur en utilisant un instrument adéquat.
Connaître les unités de longueur, de surface, de volume, de masse et de durée (dans les limites du programme) et les utiliser à bon escient dans les problèmes.




Nombres et calcul


Nombres naturels
Numération décimale. criture et décomposition d'un nombre ; ordre sur les naturels (utilisation des signes < , > et = ) ; nombres consécutifs.
Il n'y a pas de nombre plus grand que tous les autres puisqu'on peut toujours ajouter 1.
Calcul dans l'ensemble des naturels :
- calcul mental exact : somme de deux nombres à deux chiffres, avec une retenue au maximum ; tables de multiplication ; division exacte issue des tables de multiplication ; soustraction d'un nombre à un chiffre ;
- calculs écrits : addition et soustraction des entiers et des décimaux ; multiplication de deux entiers et d'un entier et d'un décimal, avec retenues ;
- calcul mental approché (ordre de grandeur prévisible d'un résultat) ;
- lecture et interprétation du résultat donné par une calculette (pour chacune des quatre opérations).

Les fautes de frappe peuvent être commises aussi bien sur un traitement de texte ou une calculette. Le maître amène les élèves à se demander :

- pourquoi une faute de frappe se voit mieux sur un mot que sur un nombre,
- quelles sont les fautes de frappe qu'un traitement de texte laisse échapper,
- pourquoi il n'existe pas un correcteur de nombres comme il existe un correcteur d'orthographe,
- comment on peut contrôler le résultat donné par une calculette.

Seul le calcul mental de l'ordre de grandeur permet de rectifier des erreurs importantes dues aux éventuelles fautes de frappe sur la calculette. Il est donc fondamental d'habituer l'élève à contrôler le résultat de sa machine par un calcul mental arrondi de son ordre de grandeur.


Problèmes
- relevant de l'addition, de la soustraction, de la multiplication, de la division.
La division
L'existence des calculettes oblige à reconsidérer globalement l'apprentissage de la division.
Alors que les techniques de l'addition, de la soustraction et, de façon plus délicate, la technique de la multiplication permettent d'enrichir le sens que les élèves donnent à chaque opération, il n'en est pas de même pour la division. Apprendre à faire une division est un travail formel qui n'éclaire pas le sens de cette opération et qui par ailleurs prend beaucoup de temps. D'autre part, même si l'élève parvient à acquérir cette technique, celle-ci est souvent vite oubliée.
- la division doit être liée à la question "combien de fois" un nombre est-il contenu dans un autre. On travaillera d'abord par soustractions successives (combien de boîtes de 6 oeufs peut-on remplir complètement avec 26 oeufs ? Combien reste-t-il d'œufs à ranger ?). On posera aussi des problèmes pour retrouver le dividende (on a rempli 8 boîtes de 6 oeufs, il reste 4 oeufs à ranger, combien y en avait-il ?).
L'objectif est d'apprendre à l'élève à jongler de toutes les manières possibles avec les éléments de l'égalité (diviseur 3 quotient) + reste = dividende : en connaissant trois éléments, il doit savoir déterminer le quatrième. Mais l'égalité précédente n'est pas forcément claire pourqui ne maîtrise pas encore la priorité des opérations ou le rôle des parenthèses. C'est pourquoi, à seule fin de mieux mémoriser le rôle de chaque élément, on proposera encore la disposition classique, mais en restant dans le champ de la table de multiplication liée au diviseur (si on divise par 6, le dividende ne dépassera pas 60) :


26 | 6  
  2 | 4

soit :

dividende |  diviseur
reste          |  quotient



- la division euclidienne sera vue également en encadrant le dividende par deux multiples consécutifs du diviseur. La façon dont est posée la question est importante et permet un travail sur la lecture et la compréhension (combien faut-il de boîtes de 6 oeufs pour transporter 26 oeufs ? Cette fois la réponse est 5).

- la division exacte dans l'ensemble des nombres entiers sera également vue comme opération réciproque de la multiplication (par exemple, en liaison avec la géométrie, on fera retrouver une dimension d'un rectangle connaissant l'aire et une autre dimension).

Fractions simples : écriture, comparaison de fractions de même dénominateur.

Le dénominateur donne le nom (il "dénomme") : si on coupe une tarte en 3 ou en 4, chaque portion s'appelle un tiers ou un quart. Cas particulier des fractions égales à 1.
Les dénominateurs ne doivent pas excéder 20, sauf, dans le cas des fractions en centièmes, millièmes...
Les fractions que l'on compare sont données d'emblée au même dénominateur. Les dénominateurs ne doivent pas excéder 20. On se limitera aux fractions inférieures ou égales à 1.

Nombres décimaux

Ecriture à virgule, écriture fractionnaire, passage d'une écriture à l'autre.
Ordre sur les décimaux (comparaison, encadrement). Placer un nombre entre deux nombres décimaux. La notion de nombres décimaux consécutifs n'a pas de sens.
Calculs
- calculs écrits : addition et soustraction de deux décimaux ; multiplication d'un décimal par un entier ;
- calcul mental : somme de deux décimaux quand le résultat est un entier (3,75 + 5,25 ou 3,6 + 8,4). Division par 2, par 4 ou par 5 d'un nombre entier, y compris lorsque le résultat est un nombre décimal. Recherche de l'ordre de grandeur en utilisant les valeurs approchées entières (en excluant les décimaux inférieurs à 1) ;
- usage de la calculette pour les autres opérations.
Les nombres décimaux :
En découvrant la division décimale de deux entiers, l'élève devra se familiariser avec les écritures synonymes d'un nombre (un quart, c'est aussi 25/100 ou 0,25). Cette maîtrise des diverses écritures d'un même nombre est un des objectifs prioritaires du cycle 3.
Problèmes :
- relevant de l'addition ou de la soustraction de deux décimaux, de la multiplication ou de la division d'un décimal par un entier, de la division décimale de deux entiers ;
- utilisant un pourcentage qui indique l'importance d'une partie par rapport à un tout (les pourcentages d'augmentation et de baisse ne sont pas au programme) :
- utilisant une échelle, en liaison avec la géographie ou la lecture d'un plan.
Problèmes : se confronter à des problèmes est une activité essentielle en mathématiques, en particulier pour percevoir le besoin d'outils nouveaux. On continuera à proposer à l'élève quelques problèmes ayant plusieurs solutions et on l'amènera à se demander s'il a trouvé toutes les solutions possibles. On proposera aussi des énoncés dont les données sont surabondantes ou bien insuffisantes pour conclure.
Lorsqu'un problème conduit à une division, c'est le contexte qui indique si le résultat cherché doit être donné par un nombre entier (avec un reste éventuel) ou par un nombre décimal.
L'élève doit donc apprendre à le
prévoir dès la lecture de l'énoncé (le nombre de places de cinéma que l'on peut acheter avec 150 F est un nombre entier, la longueur d'un rectangle peut être un nombre décimal). En liaison avec la mesure, le maître habitue l'élève à ne pas recopier toutes les décimales de sa machine.
Une calculette donne en général le résultat d'une division sous forme décimale, même si cela n'a aucun sens pour le problème considéré. Il faut donc former l'élève à interpréter le résultat donné par sa calculette car la réponse dépend de la question. Ainsi, plusieurs questions amènent à taper la division 26 : 6 = 4,333333 :

combien faut-il de boîtes de 6 oeufs pour transporter 26 oeufs ? (réponse : 5)

combien de boîtes de 6 oeufs peut-on remplir complètement avec 26 oeufs ? (réponse : 4)
quelle est la largeur d'un rectangle de 6 cm de long et de 26 cm2 de surface ? (4,3 cm ou 4,33 cm)

Face à un problème, la capacité d'initiative doit être encouragée. L'analyse des erreurs et de leurs causes est également à développer, ainsi que la comparaison de raisonnements différents.

Langage des pourcentages : on se limite aux pourcentages traduisant le rapport d'une partie à un tout servant de référence. Les taux d'augmentation ou de baisse ne sont pas au programme.
Le maître introduit l'idée que certains nombres isolés ne donnent pas une information suffisante (savoir qu'il y a 60 femmes députés ne dit pas si c'est "beaucoup"...). Il amène l'élève à sentir l'importance de se demander "sur combien ?". Cette expression courante introduit l'idée de diviser. La division de l'effectif d'une partie par celui du tout mène à un nombre décimal qui se dit en pourcentage (0,18 se dira 18 % de...; 0,182 se dira aussi 18% en arrondissant). Les pourcentages sont un mode d'expression et non une façon à part de calculer.
Le calcul de l'effectif d'une partie connaissant le pourcentage et l'effectif du tout sera vu au collège.
Le maître insiste sur le fait que toute conclusion incluant un pourcentage "partie/tout" doit comporter l'ensemble de référence (18 % de quoi ?).
Il fait observer des comparaisons de pourcentages semblables portant sur garçons-filles ; hommes-femmes (par exemple pourcentage des filles de l'école faisant un sport, pourcentage équivalent des garçons. Un pourcentage plus grand pour les garçons ne signifie pas forcément qu'il y a plus de garçons que de filles faisant du sport).
L'élève doit mémoriser les pourcentages correspondant aux fractions usuelles (1/2; 1/3; 1/4 et 1/5).

Identification des situations de proportionnalité

Situation de proportionnalité : répétition additive d'une valeur unitaire (pour chaque baguette de pain achetée, on paye le même prix). Les tableaux de proportionnalité et le coefficient de proportionnalité ne sont pas au programme.
Lecture et construction de diagrammes en bâtons, l'une des variables étant non numérique (populations ou superficies de divers pays par exemple). Les graphiques circulaires et les représentations graphiques de fonctions numériques ne sont pas au programme.
L'objectif prioritaire est d'apprendre à identifier les situations de proportionnalité.
Les situations de proportionnalité sont les seules situations pour lesquelles un seul couple de données (par exemple, une quantité et le prix correspondant) détermine toute l'information. Si on connaît le prix de 3 m de tissu, on peut trouver le prix de n'importe quel métrage en passant par la valeur unitaire (c'est la règle de trois). Mais il demeure utile de présenter aux élèves les économies de calcul possibles dans le cadre de ces situations répétitives : si on connaît le prix de 3 m, on peut trouver celui de 6 m, 9 m, 12 m... sans passer par la valeur unitaire, et si on connaît à la fois le prix de 3 m et celui de 5 m, on a directement le prix de 8 m, on utilisera la règle de trois. Passer systématiquement par la valeur unitaire serait signe d'un dressage n'ayant aucune valeur éducative.
Afin de ne pas mêler deux notions nouvelles, on se limite à des exemples utilisant les nombres entiers déjà familiers aux élèves. Il importe de montrer aussi des contre-exemples : en particulier on aidera les élèves à écarter la proportionnalité dans les situations o elle ne s'applique pas (prix d'objets vendus en lot inférieur au prix d'un objet vendu seul).

On évitera de recourir artificiellement à la proportionnalité lorsqu'une simple division répond à la question posée.

Enfin, la proportionnalité ne sera pas liée aux échelles et aux pourcentages durant la scolarité élémentaire. Ce sera fait au collège, lorsque la définition du lien proportionnel entre deux grandeurs sera donnée.

Initiation à la géométrie

Identification des éléments géométriques des solides et des figures planes.
Droites parallèles ; droites perpendiculaires.
Reconnaissance de quelques objets géométriques usuels : aux solides vus au cycle 2 (cube, cylindre et sphère), on ajoute le pavé, le cône et la pyramide ; en géométrie plane, on ajoute le losange et le triangle.
Tracés géométriques à l'aide d'instruments (règle, règle graduée, équerre, compas, gabarit pour les angles), en particulier tracés de parallèles et de perpendiculaires. Reproduction de figures planes .
Construction de patrons.
Repérage dans le plan. Utilisation de quadrillages (pour lire une carte en géographie, pour reproduire des figures...).

Initiation à la géométrie des volumes

Au cycle 2, les élèves ont appris à dégager la notion de forme d'un objet en faisant abstraction de la taille, de la couleur, etc. Au cycle 3, il s'agit d'observer les divers éléments qui composent une forme géométrique afin de pouvoir la décrire, la reproduire et la recomposer mentalement à partir d'une représentation plane. Il devient donc nécessaire de savoir nommer les éléments géométriques usuels en utilisant un vocabulaire précis (face, sommet, arête, côté, segment, milieu, angle). Il convient également de faire identifier certaines propriétés telles que le parallélisme ou l'orthogonalité des arêtes (mais le parallélisme et l'orthogonalité des faces sont hors programme).

Au cycle 3, on passe des représentations des solides opaques (vus au cycle 2) aux représentations faisant apparaître les arêtes cachées. Au vu d'un dessin, on pourra demander aux élèves :

- de choisir un solide parmi une collection de représentations planes,
- de reconnaître des angles droits alors que le dessin plan les représente autrement,
- de préciser la forme de certaines faces (faces carrées, rectangulaires...)

Deux arêtes parallèles sur le solide sont toujours représentées par deux segments parallèles. En revanche deux segments ou deux angles égaux sur le solide ne sont pas nécessairement égaux sur sa représentation plane.

L'élève apprend à dessiner les patrons associés à un cube, à un pavé ou à une pyramide régulière donnés et à reconstituer ces solides à partir des patrons.
Les formes qui nous entourent et que les élèves étudient dans d'autres disciplines sont des objets et non des dessins plans. En sciences et en technologie, il arrive de s'interroger sur la symétrie d'un animal ou sur la répétition "en tournant" d'un motif (fleurs, étoile de mer, lustre à cinq branches...). C'est pourquoi le programme de mathématiques aborde ces notions à propos des solides.

Initiation à la géométrie plane

A l'école élémentaire, l'élève doit savoir reconnaître et reproduire un carré, un rectangle, un losange, un triangle, un cercle de centre donné. (On évitera de ne présenter que des carrés dont les côtés sont parallèles aux bords de la page, ou seulement des losanges posés sur un sommet). L'élève doit connaître le code signalant un angle droit et deux segments de même longueur.
Si les représentations de figures planes prennent un peu plus d'importance dans le cycle 3, elles ne doivent pas devenir prépondérantes. En particulier l'apprentissage systématique des listes de figures et de leurs propriétés n'est pas un objectif du cycle. C'est aussi au collège que les élèves découvriront les invariants (dans le triangle par exemple) et la possibilité de les prouver autrement qu'expérimentalement.
Les reproductions de figures permettent à la fois de mieux maîtriser les instruments de dessin et de découvrir quelques propriétés des figures. On distinguera :
- les reproductions de figures en utilisant l'équerre et la règle graduée. On en profitera pour familiariser l'élève avec l'usage de l'équerre pour tracer des perpendiculaires et des parallèles ;
- les reproductions "au compas" et à la règle (non graduée). Le compas est un outil très utile pour reporter des longueurs.

On pourra faire reproduire un triangle quelconque et vérifier l'égalité par découpage et superposition. La manipulation de figures articulées permettra de faire percevoir de façon sensible quelques propriétés importantes des figures planes, en particulier que le triangle est le seul polygone articulé rigide (dont la forme est fixée quand la longueur des trois côtés est déterminée). C'est pourquoi il est aisé de reproduire un triangle "au compas".

. Pour reproduire un carré ou un rectangle au compas, il ne suffit pas de reporter les longueurs des côtés car cela n'assure pas l'angle droit : il faut aussi reporter la longueur d'une diagonale (donc en fait reproduire des triangles accolés). La manipulation de rectangles articulés doit faire percevoir la nécessité de fixer la longueur de la diagonale pour fixer la forme.

Mesure

Mesure de diverses grandeurs: longueur, masse, durée, surface, capacité (en litres).
Distinction entre périmètre et surface du rectangle.
Comparaison de deux angles, reproduction d'un angle donné avec un gabarit.
Unité de mesure :
- pour les longueurs et les masses, unités du système métrique ;
- pour les surfaces et les capacités : cm2, m2, hectare, km2 ; cl, d1, l ;
- pour les durées, unités usuelles et relations entre ces unités (h, min, s).
Ordre de grandeur pour longueur, masse, surface, volume, durée ; choix de l'unité appropriée.
Conversions d'unités entre unités usuelles de longueur et de masse.
La notion d'encadrement sera liée à la notion de mesure.
Seule la surface d'un rectangle est au programme, en liaison avec la multiplication . Les deux dimensions d'un rectangle sont données dans la même unité et on se borne à associer l'unité de surface correspondante (le cm2 comme surface d'un carré de 1 cm de côté).
La notion d'encadrement de la surface d'une figure à frontière courbe n'est pas au programme.
La conversion d'unités d'aire sera vue au collège, en liaison avec le produit des décimaux.
A propos du rectangle, le maître insiste sur les opérations associées au calcul du périmètre et de la surface (addition pour le périmètre ; multiplication pour la surface). L'utilisation de formules littérales est prématurée à l'école, aussi une forme intermédiaire est utilisée : périmètre du rectangle = 2 longueurs + 2 largeurs ; surface = longueur x largeur.

On habitue l'élève à proposer lui-même une unité adaptée à ce qu'il veut mesurer. Les multiples peu utilisés dans la vie courante (décamètre, hectomètre, décalitre, hectolitre) ne seront plus nommés.

L'élève doit observer que parler d'ordre de grandeur s'applique à deux situations différentes :
- prévoir l'ordre de grandeur du résultat d'une opération pour contrôler ses calculs (à la main et à la machine) : ceci est une activité mathématique. Plus on utilise la calculette, plus il s'avère utile de contrôler sa frappe en utilisant l'ordre de grandeur ;
- savoir si une mesure donnée est plausible : une voiture se déplace-t-elle à 1 000 km/h ou 100 km/h ? Cela participe à la mise en place de références nécessaires à la découverte du monde et doit être fait dans plusieurs disciplines.
Le maître doit habituer l'élève à être critique face à des précisions sans signification : les décimales de sa calculette, mais aussi certaines données des manuels (la France a 60 104 507 habitants. Un astronome a dénombré 102 341 652 321 étoiles).

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